【三角函数的变换公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握三角函数的变换公式，有助于简化计算、解决复杂问题。以下是对常见三角函数变换公式的总结与归纳。
一、基本恒等式
| 公式 | 内容 |
| 1. 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 2. 正切与余切关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 3. 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
二、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| 1. 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 2. 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 3. 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
三、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 1. 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 2. 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 3. 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
四、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 1. 正弦半角 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 2. 余弦半角 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 3. 正切半角 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
五、积化和差与和差化积
| 公式 | 内容 |
| 1. 积化和差（正弦） | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| 2. 积化和差（余弦） | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| 3. 和差化积（正弦） | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| 4. 和差化积（余弦） | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
六、其他常用公式
| 公式 | 内容 |
| 1. 诱导公式（角度转换） | $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ $ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta $ |
| 2. 三角函数的周期性 | $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta $ $ \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta $ $ \tan(\theta + \pi) = \tan\theta $ |
总结
三角函数的变换公式是解决三角问题的重要工具，灵活运用这些公式可以大大简化运算过程。在实际应用中，应根据具体问题选择合适的公式，同时注意角度单位（弧度或角度）的一致性。掌握这些公式，不仅有助于提高解题效率，也能加深对三角函数性质的理解。
