【求函数定义域】在数学中，函数的定义域是指所有使得该函数有意义的自变量（通常为x）的取值范围。不同的函数类型对自变量有不同的限制条件，因此，掌握如何求函数的定义域是学习函数的基础之一。
以下是对常见函数类型的定义域总结，并以表格形式进行展示：
一、常见函数类型及其定义域
| 函数类型 | 函数表达式 | 定义域说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = c $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 分式函数 | $ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $ | 分母不为零，即 $ q(x) \neq 0 $ 的所有实数 |
| 根号函数（偶次根） | $ f(x) = \sqrt{g(x)} $ | 被开方数非负，即 $ g(x) \geq 0 $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a(g(x)) $ | 真数大于0，即 $ g(x) > 0 $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^{g(x)} $ | 所有实数，只要底数 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin x $ 或 $ f(x) = \cos x $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 反三角函数 | $ f(x) = \arcsin x $ 或 $ f(x) = \arccos x $ | 定义域为 $ [-1, 1] $ |
二、求定义域的步骤
1. 识别函数类型：根据函数的形式判断属于哪一类函数。
2. 分析限制条件：
- 如果是分式函数，找出使分母为零的x值并排除；
- 如果是根号函数，确保被开方数非负；
- 如果是对数函数，确保真数大于0；
- 其他函数如多项式、指数函数等一般没有限制。
3. 列出所有允许的x值，即为函数的定义域。
三、举例说明
例1：求函数 $ f(x) = \frac{1}{x-2} $ 的定义域。
- 分母不能为零，所以 $ x - 2 \neq 0 $，即 $ x \neq 2 $
- 定义域为：$ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
例2：求函数 $ f(x) = \sqrt{x-3} $ 的定义域。
- 被开方数必须非负，即 $ x - 3 \geq 0 $，解得 $ x \geq 3 $
- 定义域为：$ [3, +\infty) $
例3：求函数 $ f(x) = \log(x+1) $ 的定义域。
- 真数必须大于0，即 $ x + 1 > 0 $，解得 $ x > -1 $
- 定义域为：$ (-1, +\infty) $
四、总结
求函数的定义域是理解函数性质的重要一步。通过分析函数的结构和相关限制条件，可以准确地确定自变量的取值范围。对于不同类型的函数，其定义域的求法也有所不同，但核心思路一致：找出所有让函数有意义的x值。
掌握这一技能，有助于更深入地理解函数图像、单调性、奇偶性等后续内容。
